โรงเรียนนี้เดิมชื่อ “โรงเรียนประชาบาลตำบลปากแจ่ม 1”  ได้เปลี่ยนชื่อใหม่ให้ถูกต้องตามระเบียบกระทรวงศึกษาธิการเป็น “โรงเรียนบ้านคลองคุ้ย”  สร้างขึ้นโดย  นายแดง  แก้วจร กำนันตำบลปากแจ่มร่วมกับราษฎร  ได้ปลูกสร้างขึ้นในที่ดินซึ่งขุนอร่ามมุขมานิช  อดีตกำนันตำบลปากแจ่มสงวนไว้สร้างโรงเรียนและวัดประจำหมู่บ้าน ครั้งแรกตัวโรงเรียนสร้างด้วยไม้  หลังคามุงจาก  ขนาน 5*12 เมตร  มีมูขหน้า และหลังคาออกไปข้างละ 3 เมตร  ได้เปิดสอนและมอบหมายให้เมื่อวันที่ 3 กรกฎาคม พ.ศ.2477 โดยมีพระเนือง ธนูศิลป์  เป็นครูใหญ่คนแรก
          โรงเรียนบ้านคลองคุ้ย ตั้งอยู่หมู่ที่ 5 ตำบลปากแจ่ม อำเภอห้วยยอด จังหวัดตรัง  มีอาณาเขตดังต่อไปนี้ ทิศเหนือยาว 250 เมตร  จดที่ดินวัดคลองคุ้ย
ทิศใต้ยาว 286 เมตร จดที่ดินนายประดิษฐ์  แก้วจร  และที่ดินนายสุทิน  พิพัฒน์
ทิศตะวันตกยาว 71 เมตร  จดที่ดินหน่วยอนุรักษ์สัตว์ป่า
คิดเป็นพื้นที่ทั้งหมด  17 ไร่ 2 งาน 30 ตารางวา
          โรงเรียนนี้เปิดสอนตั้งแต่ชั้น ป.1 – ป.4 ครั้นถึงปี พ.ศ. 2483 อาคารชำรุดไม่สามารถซ่อมแซมได้ จึงย้ายสถานที่เรียนไปเรียนที่ศาลาพักร้อนของตำบล ริมถนนอรรถวิบูลย์
พ.ศ.2488 ได้ย้ายมาเรียนที่โรงธรรมวัดคลองคุ้ย
พ.ศ.2505 นายกิ้ม วิมลชัย ครูใหญ่ได้ขอความช่วยจากประชาชนสร้างอาคารเรียนขนาด 9*18 เมตร โดยหล่อเสาขึ้นก่อน และทำเรื่อยมา จนหล่อฝาปูนซีเมนต์เสร็จ 3 ด้าน คิดเป็นเงินทั้งสิ้น 20,000 บาท
พ.ศ.2511 ได้รับเงินบำรุงท้องที่และเงินสภาจังหวัด 15,700 บาท สร้างเครื่องบนหลังคามุงกระเบื้อง และนำฝาด้านหน้า โดยคณะครู กำนัน ผู้ใหญ่บ้าน  และราษฎร ร่วมกันจัดหาวัสดุ อุปกรณ์ มาสมทบเป็นเงิน 15,000 บาท แต่ยังไม่เสร็จเรียบร้อย
พ.ศ.2515 คณะครูได้ร่วมกับผู้ปกครองนักเรียนลาดพื้นซีเมนต์ คิดเป็นค่าวัสดุและแรงงาน 2,000 บาท อาคารหลังแรกที่เริ่มสร้าง เมื่อ พ.ศ.2504 ก็มาแล้วเสร็จในปี พ.ศ.2514 รวมค่าก่อสร้าง 59,000 บาท พ.ศ.2512 ได้รับงบประมาณ 90,000 บาท สร้างอาคารเรียนขนาด 8.50 * 27 เมตร แบบ ป 1 ก ได้สร้างเสร็จแล้วย้ายสถานที่จากโรงเรียนธรรมวัดคลองคุ้ย มาเรียนในอาคารหลังนี้ เมื่อวันที่ 21 พฤศจิกายน 2512
พ.ศ.2520 ได้รับงบประมาณสร้างอาคารเรียนจากองค์การบริหารส่วนจังหวัด จำนวน 280,000 บาท แบบ ป 1 ก ขนาด 8.50 * 36 เมตร จำนวน 4 ห้องเรียน
พ.ศ.2521 ได้รับงบประมาณสร้างโรงอาหาร 1 หลัง จำนวนเงิน 70,000 บาท เป็นแบบ อก.ตร.200
พ.ศ.2522 ได้รับงบประมาณสร้างส้วม 1 หลัง จำนวน 3 ที่นั่ง เป็นแบบ  ป 1 ก และบ้านพักครูจำนวน 3 หลัง แบบ อก.จร.
พ.ศ.2529 ได้รับงบประมาณสร้างส้วม 1 หลัง จำนวน 2 ที่นั่ง  เป็นแบบ สปช.601/2526 งบประมาณ 20,000 บาท
พ.ศ.2535 โรงเรียนได้ขออนุญาตรื้อถอนบ้านพักครู หลังที่ 2,3 กรมธนารักษ์อนุญาตให้รื้อถอน และได้นำวัสดุไปสร้างอาคารเรียนชั่วคราวแบบ ป1ก ขนาด 9*12 เมตร เพื่อรองรับการขยายชั้นอนุบาลในปี 2536
พ.ศ.2539 โรงเรียนได้เปิดเป็นโรงเรียนขยายโอกาสทางการศึกษาสอนตั้งแต่ระดับก่อนประถมศึกษา ถึงระดับมัธยมศึกษาตอนต้น
พ.ศ.2541 โรงเรียนได้รับงบประมาณสร้างอาคารเรียนแบบกึ่งถาวรแบบกรมสามัญศึกษา ขนาด 6 ห้องเรียน
เดือนสิงหาคม 2541 อาคารเรียนแบบ ป1 ก 3 ห้องเรียน 1 ห้องมุข ได้เกิดยุบตัวเสียก่อน ไม่สามารถเรียนได้ด้วยเหตุเพราะฝนตกหนักตลอด 3 วัน 3 คืน ปลายปีจึงได้รับงบประมาณโรงเรียนประสบภัยธรรมชาติ เป็นค่าที่ดินและสิ่งก่อสร้าง สร้างอาคารเรียน แบบ สปช.1058/2529  ขนาด 4 ห้องเรียน ใต้ถุนโล่ง จำนวน 1 หลัง
พ.ศ.2553 หจก.โจมทองศิลา ได้บริจาควัสดุประเภทเหล็ก สังกะสี และวัสดุงานเชื่อม โรงเรียนได้ขอความช่วยเหลือกับวิทยาลัยการอาชีพห้วยยอด ซึ่งสอนวิชางานเชื่อม ชั้นมัธยมศึกษาตอนต้นอยู่ ดำเนินการสร้างหลังคากันแดด ขนาด 2*40 เมตร เชื่อมระหว่างอาคาร สปช.105/2529 กับอาคารกึ่งถาวรแบบกรมสามัญศึกษา
พ.ศ.2553 ได้รับงบประมาณสร้างสนามบาสเกตบอล 1 สนาม และถังน้ำ แบบ ฝ1ก พิเศษ จำนวน 4 ถัง
26 มกราคม 2559 โรงเรียนบ้านคลองคุ้ยปรับปรุงซ่อมแซมด้วยงบประมาณ มาตรการส่งเริมความเป็นอยู่ระดับตำบล อาคารอเนกประสงค์ โดย ผู้ใหญ่วิเชียร หมื่นละม้าย และประชาคม หมู่ที่ 3 ตำบลปากแจ่ม จำนวน 167,000 บาท
พ.ศ.2562 ได้รับงบประมาณก่อสร้างอาคารเรียน แบบ สปช.105/29 ปรับปรุง 2 ชั้น 4 ห้องเรียน (ชั้นล่างโล่ง บันได 2 ข้าง ) จำนวน 1 หลัง งบประมาณ 3,444,444.44 บาท
วันศุกร์ที่  ๘  ตุลาคม  พ.ศ.๒๕๖๔
ข้าพเจ้านางสาวอรุณศรี  เที่ยงธรรม  ได้รับอนุมัติย้ายให้ดำรงตำแหน่งผู้อำนวยการสถานศึกษาโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย  เดินทางมารับตำแหน่ง และประชุมครูเพื่อสร้างความเข้าใจ ชี้แจงแนวทางการปฏิบัติงาน และมอบนโยบายให้บุคลากรถือปฏิบัติ
วันศุกร์ที่ ๑๐ พฤษภาคม พ.ศ.๒๕๖๗
ปิดภาคเรียน วันนี้ข้าพเจ้า นายชลอ  ลัคนาวิวัฒน์  อำนวยการโรงเรียนวัดคีรีวิหาร ได้เดินทางมาดำรงตำแหน่ง ผู้อำนวยการโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย  ตามคำสั่งสำนักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษาตรังเขต ๒ ที่ ๑๙๓/๒๕๖๗  เรื่องย้ายและแต่งตั้งข้าราชการครูและบุคลากรทางการศึกษา  ตำแหน่งผู้บริหารสถานศึกษา
 
ลำดับผู้บริหารโรงเรียนตั้งแต่วันเปิดเรียนจนถึงปัจจุบัน
1.พระเนือง       ธนูศิลป์                     พ.ศ.2477 – 2477
2.พระเพียร       ส่งแสง                     พ.ศ.2477 – 2478
3.นายภู่          พรหมทอง                  พ.ศ.2478 – 2482
4.นายกิม         แซ่เลอว์                    พ.ศ.2482 -  2484
5.นายเสน่ห์      จุลละเขต                   พ.ศ.2484  - 2484
6.นายกิม        วิมลชัย                     พ.ศ.2484 – 2513
7.นายสมชาย   ทรงจำรัส                  พ.ศ.2513 – 2520
8.นายคีรี         บุญเจริญ                   พ.ศ.2520 – 2528
9.นายมนัส       ศรีทอง(รักษาการ)         พ.ศ.2528 – 2529
10.นายสนิท     พวงเพชร                   พ.ศ.2529 -  2535
11.นายปิยะ     เสงี่ยมจิตร์                  พ.ศ.2535 – 2548
12.นายสุวิทย์    เที่ยงธรรม                  พ.ศ.2548 – 2551
13.นายสุรินทร์  ส่งแสง                      พ.ศ.2551 – 2564
14.นางสาวอรุณศรี  เที่ยงธรรม              พ.ศ.2564 – 2567
15.นายชลอ     ลัคนาวิวัฒน์                พ.ศ.2567 –  ปัจจุบัน
จำนวนบุคลากรในโรงเรียน ปี 2567
1.นายชลอ                 ลัคนาวิวัฒน์                ผู้อำนวยการโรงเรียน
2.นางดุษฎี                 สงสังข์                      ครูโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
3.นางอัจจิมา               สุจริต                       ครูโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
๔.นางสาวพรทิพย์         เจนจริยานนท์             ครูโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
๕.นางนิตยา                พลเดช                     ครูโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
๖.นางสาวเขมจิรัสย์       บัวทอง                     ครูโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
๗.นางฐิติมา                จันทรมาศ                  ครูโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
๘.นางโชคดี                ชนะภัย                     ครูโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
๙.นางสาวธารารัตน์       บัวแหร่ม                   ครูโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
๑๐.นางสาวฤทัยรัตน์      กาลสุวรรณ์                ครูโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
๑๑.นางชนิษฐา            แท่นมาก                   ครูโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
๑๒.นางชนิดา              มณีทับ                     ครูโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
๑๓.นางสาววรินรดา       ชอบพานิช                 ครูโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
๑๔.นางสาวนัชรี           สิงห์อินทร์                  ครูโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
๑๕.นายณัฐกานต์ ชูจิตต์                      ครูโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
๑๖.ว่าที่ร้อยตรีกันตภณ   เดโชศาสตร์                ครูโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
๑๗.นางสาวไอลดา         ทองรักษ์          ครูจ้างโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
๑๘.นายอนุวรรตน์         จันทร์ชุม                   นักการภารโรงเรียนบ้านคลองคุ้ย
จำนวนนักเรียนในปีการศึกษา 2567
ชั้นอนุบาลปีที่ ๒                    ชาย  13  คน    หญิง  7 คน      รวม 20  คน
ชั้นอนุบาลปีที่ ๓                    ชาย  5    คน   หญิง 10 คน     รวม 15  คน
ชั้นประถมศึกษาปีที่  ๑             ชาย  7    คน   หญิง 8  คน     รวม 15  คน
ชั้นประถมศึกษาปีที่  ๒             ชาย 13   คน    หญิง 11 คน     รวม 24  คน
ชั้นประถมศึกษาปีที่  ๓             ชาย 15   คน    หญิง 6   คน     รวม 21  คน
ชั้นประถมศึกษาปีที่  ๔             ชาย 12   คน    หญิง 6   คน     รวม 18  คน
ชั้นประถมศึกษาปีที่  ๕             ชาย 11   คน    หญิง 22  คน    รวม 33  คน
ชั้นประถมศึกษาปีที่  ๖/๑          ชาย 12   คน    หญิง 5    คน    รวม 17  คน
ชั้นประถมศึกษาปีที่  ๖/๒          ชาย 7     คน   หญิง 12  คน    รวม 19  คน
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่  ๑               ชาย 10   คน    หญิง 15  คน    รวม 25  คน
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่  ๒               ชาย  6    คน   หญิง 2    คน    รวม  8   คน
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่  ๓               ชาย  13  คน    หญิง 7    คน    รวม  20 คน
รวมนักเรียนทั้งหมด                 ชาย 124 คน    หญิง 111 คน   รวม 235 คน